Question

20．某工廠準(zhǔn)備裁減人員，已知該工廠現(xiàn)有工人2m（80＜m＜300且m為偶數(shù)）人，每人每年可創(chuàng)利n（n＞0）萬元，據(jù)評估，在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁減1人，留崗人員每人每年多創(chuàng)利$\frac{n}{50}$萬元，但工廠需支付被裁減人員每人每年$\frac{4n}{5}$萬元生活費(fèi)，且工廠正常生產(chǎn)人數(shù)不少于現(xiàn)有人數(shù)的$\frac{3}{4}$（注：效益=工人創(chuàng)利-被裁減人員生活費(fèi)）．
（1）求該廠的經(jīng)濟(jì)效益y（萬元）與裁員人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系；
（2）為獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，該廠應(yīng)裁員多少人？

Answer 1

分析 （1）設(shè)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y=留崗職員數(shù)×每個(gè)留崗職員創(chuàng)利-下崗職員數(shù)×每個(gè)下崗職員生活費(fèi)．
（2）配方后利用二次函數(shù)性質(zhì)可求出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬元．則
y=（2m-x）（n+$\frac{n}{50}$x）-$\frac{4n}{5}$x=-$\frac{n}{50}$[x²-（2m-90）x]+2mn；
（2）對稱軸方程為x=m-45．
由-$\frac{n}{50}$＜0，有：
當(dāng)x＜m-45時(shí)，函數(shù)y=-$\frac{n}{50}$[x²-（2m-90）x]+2mn是遞增的；
當(dāng)x＞m-45時(shí)，函數(shù)y=-$\frac{n}{50}$[x²-（2m-90）x]+2mn是遞減的．
又由該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的$\frac{3}{4}$，
所以2m-x≥$\frac{3}{4}×2m$，即0＜x≤$\frac{1}{2}$m．
又80＜m＜300且m為偶數(shù)，
①當(dāng)0＜m-45≤$\frac{1}{2}$m，即80＜m≤90時(shí)，x=m-45時(shí)，
函數(shù)y=-$\frac{n}{50}$[x²-（2m-90）x]+2mn取得最大值．
②當(dāng)m-45＞m，即90＜m＜300時(shí)，x=m時(shí)，
函數(shù)=-$\frac{n}{50}$[x²-（2m-90）x]+2mn取得最大值．
綜上所述：當(dāng)80＜m≤90時(shí)，應(yīng)裁員（m-45）人；當(dāng)90＜m＜300時(shí)，應(yīng)裁員m人，公司才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，聯(lián)系二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解決最值問題．