Question

12．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，側(cè)面PBC內(nèi)有BE⊥PC于E，
（1）求證：PC⊥面BED．
（2）若BE=$\frac{1}{3}$a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，推導(dǎo)出BD⊥平面PAC，從而BD⊥PC，再由BE⊥PC于E，能證明PC⊥面BED．
（2）過(guò)E作EO⊥平面ABCD，交AC于O，過(guò)O作OF∥AD，交AB于F，連結(jié)EF，此時(shí)EF∥平面PAD，由BE=$\frac{1}{3}$a，能求出BF=$\frac{8}{9}a$時(shí)，EF∥平面PAD．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，
∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，
∴AC⊥BD，
又側(cè)棱PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC，
∵側(cè)面PBC內(nèi)有BE⊥PC于E，BD∩BE=B，
∴PC⊥面BED．
解：（2）過(guò)E作EO⊥平面ABCD，交AC于O，過(guò)O作OF∥AD，交AB于F，連結(jié)EF，
∵EO∥PA，OF∥AD，EO∩OF=O，PA∩AD=A，
∴平面EOF∥平面PAD，
∵EF?平面EFO，∴EF∥平面PAD，
∵BE=$\frac{1}{3}$a，∴CE=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{9}{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3}$，
∵Rt△BCE∽R(shí)t△PCB，∴$\frac{BC}{PC}=\frac{CE}{BC}$，∴PC=$\frac{B{C}^{2}}{CE}$=$\frac{{a}^{2}}{\frac{2\sqrt{2}a}{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}a$，
∴$\frac{OC}{AC}=\frac{CE}{PC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}a}{3}}{\frac{3\sqrt{2}a}{4}}$=$\frac{8}{9}$，
∴$\frac{BF}{BA}=\frac{OC}{CA}$=$\frac{8}{9}$，
∴BF=$\frac{8}{9}a$時(shí)，EF∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的點(diǎn)的位置的確定與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．