Question

如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點，點在上，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵底面，且底面，

∴             …………………1分

由，可得      …………………………2分

又 ，

∴平面                               …………………………3分

注意到平面，

∴                                …………………………4分

,為中點，

∴                               …………………………5分

 ， 平面       …………………………6分

  而平面，

∴                       …………………………7分

 

（2）方法一、如圖，以為原點、所在直線為軸、為軸建立空間直角坐標系.

則          …………………………8分

.       …………………………10分

設(shè)平面的法向量.

 

 

由得，

即……………（1）

      ……………（2）

取，則，.    …………………………12分

取平面的法向量為

則，

故平面與平面所成角的二面角（銳角）的余弦值為.     ……………14分

方法二、取的中點，的中點，連接，

    ，，∴.       ……………8分

    ，

∴.             ……………9分

   同理可證：.  又，

∴.…………10分

 

 

則與平面所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）

已知，，平面

∴，∴                     …………11分

又，∴平面

由于平面， ∴

而為與平面的交線，

又底面，平面

為二面角的平面角                                …………12分

根據(jù)條件可得，

在中，

 在中，由余弦定理求得                                    …………13分

故平面與平面所成角的二面角（銳角）的余弦值為.                …………14分

 

【解析】略