Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　　）

• A、

  2

  f（-

  π

  3

  ）＜f（-

  π

  4

  ）
• B、

  2

  f（

  π

  3

  ）＜f（

  π

  4

  ）
• C、f（0）＞2f（

  π

  3

  ）
• D、f（0）＞

  2

  f（

  π

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，
則g′（x）=

f′(x)cosx-f(x)(cosx)′

cos2x

=

1

cos2x

（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）單調(diào)遞增，
則g（-

π

3

）＜g（-

π

4

），即

f(- π 3 )

cos(- π 3 )

＜

f(- π 4 )

cos(- π 4 )

，
∴

f(- π 3 )

1 2

＜

f(- π 4 )

2 2

，即

2

f（-

π

3

）＜f（-

π

4

），故A正確．
g（0）＜g（

π

3

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 3 )

cos π 3

，
∴f（0）＜2f（

π

3

），
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．