Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+m
（1）寫出函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數(shù)f（x）的最小值為2，求：當(dāng)x取何值時，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為多少？

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+m，故函數(shù)的周期．令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．
（2）根據(jù)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，利用函數(shù)的定義域和值域根據(jù)函數(shù)f（x）取得最小值為2，解得m的值，可得函數(shù)f（x）取得最大值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+m，故函數(shù)的周期為T=

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

時，函數(shù)f（x）取得最小值為-

1

2

+m=2，解得 m=

5

2

．
故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

 時，函數(shù)f（x）取得最大值為1+m=

7

2

，即當(dāng)x=

π

6

時，函數(shù)f（x）取得最大值為

7

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定i義域和值域，屬于中檔題．