【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(x﹣1)=f(3﹣x)且方程f(x)=2x有兩個相等實數(shù)根 (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出符合條件的所有m,n的值,如果不存在,說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)∵f(﹣x+3)=f(x﹣1),

∴對稱軸是x=1,

得到﹣ =1 ①

∵方程f(x)=2x有兩個相等的實數(shù)根,

即ax2+(b﹣2)x=0有兩個相等的實數(shù)根,

∴△=(b﹣2)2=0,∴b=2,代入①,

解得a=﹣1,

∴f(x)=﹣x2+2x;

(Ⅱ)∵f(x)=﹣(x﹣1)2+1≤1,

∴4n≤1,即n≤ ,

而拋物線y=﹣x2+2x的對稱軸為x=1,

∴當n≤ 時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù).

若滿足題設(shè)條件的m,n存在,

,即 又m<n≤

∴m=﹣2,n=0,這時,定義域為[﹣2,0],值域為[﹣8,0].

由以上知滿足條件的m,n存在,m=﹣2,n=0


【解析】(Ⅰ)由方程ax2+bx﹣2x=0有等根,則△=0,得b,又由f(x﹣1)=f(3﹣x)知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=﹣ =1,得a,從而求得f(x).(Ⅱ)由f(x)=﹣(x﹣1)2+1≤1,知4n≤1,即n≤ .由對稱軸為x=1,知當n≤ 時,f(x)在[m,n]上為增函數(shù),得到關(guān)于m,n的方程組,最后看是否滿足m<n≤ 即可.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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