【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣1.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求證: .
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
由題意可得 在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
所以a≥( )max,又y= 在區(qū)間[1,+∞)上遞減,
所以( )max=1,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)
(2)證明:取a=1,由(1)有f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增,
所以,當(dāng)x>1時,f(x)>f(1)=0即lnx<x﹣1,
因?yàn)? ,
所以 ,即 ,
所以: , ,
ln < ,…, ,ln < ,
所以: ,
ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln(n+1)﹣lnn+ln(n+2)﹣ln(n+1)<1+ + +…+ ,
即 ,得證
【解析】(1)由題意可得 在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,所以a≥( )max,由單調(diào)性可得最大值,即可得到a的范圍;(2)取a=1,由(1)有f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增,可得當(dāng)x>1時,f(x)>f(1)=0即lnx<x﹣1,因?yàn)? ,所以 ,即 ,運(yùn)用累加法,以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(x﹣1)=f(3﹣x)且方程f(x)=2x有兩個相等實(shí)數(shù)根 (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出符合條件的所有m,n的值,如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D為其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),則△DAB的面積S的取值范圍為( )
A.[5,+∞)
B.[2,+∞)
C.[4,+∞)
D.[2,4]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)今信息時代,眾多高中生也配上了手機(jī).某校為研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對學(xué)習(xí)成績有影響,隨機(jī)抽取高三年級50名理科生的一次數(shù)學(xué)周練成績,并制成下面的2×2列聯(lián)表:
及格 | 不及格 | 合計 | |
很少使用手機(jī) | 20 | 6 | 26 |
經(jīng)常使用手機(jī) | 10 | 14 | 24 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
(1)判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對學(xué)習(xí)成績有影響?
(2)從這50人中,選取一名很少使用手機(jī)的同學(xué)記為甲和一名經(jīng)常使用手機(jī)的同學(xué)記為乙,解一道數(shù)學(xué)題,甲、乙獨(dú)立解出此題的概率分別為P1 , P2 , 且P2=0.5,若|P1﹣P2|≥0.4,則此二人適合結(jié)為學(xué)習(xí)上互幫互助的“學(xué)習(xí)師徒”,記X為兩人中解出此題的人數(shù),若X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1.4,問兩人是否適合結(jié)為“學(xué)習(xí)師徒”? 參考公式及數(shù)據(jù): ,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥K0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚(yáng)民族文化,某校舉行了“我愛國學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機(jī)抽取了100名考生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計制表,其中成績不低于80分的考生被評為優(yōu)秀生,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),用頻率估計概率,回答下列問題.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 5 | 0.05 |
[60,70) | a | 0.20 |
[70,80) | 35 | b |
[80,90) | 25 | 0.25 |
[90,100) | 15 | 0.15 |
合計 | 100 | 1.00 |
(I)求a,b的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按頻率分布表中的成績分組,采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國學(xué)”宣傳活動,求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人,求至少一人的成績在[90,100]的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著智能手機(jī)的發(fā)展,微信越來越成為人們交流的一種方式.某機(jī)構(gòu)對使用微信交流的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了 50 人,他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信交流贊成人數(shù)如表.
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(I)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為年齡45歲為分界點(diǎn)對使用微信交流的態(tài)度有差異;
年齡不低于45歲的人 | 年齡低于45歲的人 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若對年齡在[55,65),[65,75)的被調(diào)查人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中贊成使用微信交流的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)的圖象與g(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱,且g(x)的圖象過點(diǎn)(9,2).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(3x1)>f(x+5)成立,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個結(jié)論:
①y與x負(fù)相關(guān)且 =2.347x-6.423;②y與x負(fù)相關(guān)且 =-3.476x+5.648;
③y與x正相關(guān)且 =5.437x+8.493;④y與x正相關(guān)且 =-4.326x-4.578.
其中一定不正確的結(jié)論的序號是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
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