Question

已知向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，設函數(shù)f(x)=

m

•

n

，若函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關于坐標原點對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值，并求出此時x的取值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f(

A

2

-

π

12

)+g(

π

12

+

A

2

)=-

3

，b+c=7，bc=8，求邊a的長．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由向量的數(shù)量積運算求得f（x）的解析式，化簡后取x=-x，y=-y求得g（x）的解析式，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值及取得最大值時的x的值可求；
（Ⅱ）由f(

A

2

-

π

12

)+g(

π

12

+

A

2

)=-

3

求得角A的正弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求邊a的長．

解答： 解：（Ⅰ）由向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，且f(x)=

m

•

n

，
得，f(x)=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
∴g(x)=-

1

2

-sin(2x-

π

6

)．
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
∴當2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

時，
函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值為

1

2

；
（Ⅱ）∵g(x)=-

1

2

-sin(2x-

π

6

)，f(x)=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
由f(

A

2

-

π

12

)+g(

π

12

+

A

2

)=-

3

，得
-sinA-sinA=-

3

，
∴sinA=

3

2

．
又∵0＜A＜π，解得：cosA=

1

2

或cosA=-

1

2

，
由題意知：bc=8，b+c=7，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=33-16cosA，
則a²=25或a²=41，
故所求邊a的長為5或

41

．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了三角函數(shù)的對稱變換，訓練了余弦定理的應用，是中檔題．