Question

在等差數(shù)列S_n中，已知a₃=5，a₁+a₂+…+a₇=49．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若bn=

1

anan+1

(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較a_n+2與16S_n的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a_n=2n-1，bn=

1

anan+1

(n∈N*)，推導(dǎo)出b_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法求出S_n，從而能夠比較a_n+2與16S_n的大�。�

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由題意得：

a1+2d=5 7a1+21d=49

…（2分）
解得

a1=1 d=2

，…（4分）
∴a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）解：∵a_n=2n-1，bn=

1

anan+1

(n∈N*)，
∴b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（7分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（10分）
∴a_n+2-16S_n=2n+3-

16n

2n+1

=

(2n-1)(2n-3)

2n+1

，…（12分）
所以當(dāng)n=1時(shí)，a_n+2＜16S_n；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+2＞16S_n．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．