Question

20．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于90分為優(yōu)秀，90分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如表的列聯(lián)表．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	10
乙班		30
合計(jì)			100

已知在全部100人中抽到隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{10}$．
（1）請(qǐng)完成如表的列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，有多大的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系“？
（3）按分層抽樣的方法，從優(yōu)秀學(xué)生中抽出6名組成一個(gè)樣本，再從樣本中抽出2名學(xué)生，求恰好有1個(gè)學(xué)生在甲班的概率．
參考公式和數(shù)據(jù)：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，其中n=a+b+c+d．
下面的臨界值表供參考：

p（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）由全部100人中抽到隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{10}$，可以計(jì)算出優(yōu)秀人數(shù)為30，從而得到表中各項(xiàng)數(shù)據(jù)的值；
（2）根據(jù)公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)K²的觀測(cè)值，比較臨界值的大小，可判斷成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系的可靠性程度；
（3）找出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，及總的基本事件的個(gè)數(shù)，再代入古典概型公式進(jìn)行計(jì)算求解．

解答 解：（1）數(shù)學(xué)考試優(yōu)秀人數(shù)有$100×\frac{3}{10}=30$人，
補(bǔ)充完成列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合計(jì)	30	70	100

（2）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{（10×30-40×20）^{2}×100}{50×50×30×70}=\frac{100}{21}≈4.762$＞3.841，
∵P（K²＞3.841）=0.05，
∴1-0.05=0.95=95%．
∴有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；
（3）甲班抽取優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為$6×\frac{10}{30}=2$人，記為a，b．
乙班抽取優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為6-2=4人，記為1，2，3，4．
從6名學(xué)生中取2名學(xué)生共有15種結(jié)果：
ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34．
記A={恰好有1個(gè)學(xué)生在甲班}，則A包含8種結(jié)果：
a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4．
∴$P（A）=\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了列聯(lián)表及利用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，熟練掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法是解題的關(guān)鍵，是中檔題．