Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，且a₃，a₄+$\frac{5}{2}$，a₁₁成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知（${a}_{4}+\frac{5}{2}$）²=a₃a₁₁，從而可得公差$d=\frac{3}{2}$，所以${a}_{n}=\frac{3n-1}{2}$；
（Ⅱ）將b_n=$\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$列項(xiàng)為$\frac{4}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，求和即得T_n的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題意知d＞0，
∵a₃，${a}_{4}+\frac{5}{2}$，a₁₁成等比數(shù)列，
∴（${a}_{4}+\frac{5}{2}$）²=a₃a₁₁，
∴$（\frac{7}{2}+3d）^{2}=（1+2d）（1+10d）$，即44d²-36d-45=0，
解得$d=\frac{3}{2}$或$d=-\frac{15}{22}$（舍去），
所以${a}_{n}=\frac{3n-1}{2}$；
（Ⅱ）因?yàn)閎_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{4}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{4}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{2n}{3n+2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及求前n項(xiàng)和，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，采用裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．