Question

4．已知直線l在直角坐標(biāo)系xOy中的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為傾斜角），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ（其中坐標(biāo)原點O為極點，x軸非負半軸為極軸，取相同單位長度）
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程
（2）若曲線C與直線l相交于不同的兩點M、N，設(shè)P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，利用根與系數(shù)的好像可得|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$，即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x即為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由△=16（sinα+cosα）²-16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．
∴t₁＜0，t₂＜0．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$，
由$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得$（α+\frac{π}{4}）$∈$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（α+\frac{π}{4}）$≤1，
∴|PM|+|PN|的取值范圍是$（4，4\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、參數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．