【題目】已知函數(shù) ,其中 .

(1)當(dāng) 時,求函數(shù) 處的切線方程;

(2)若函數(shù) 在定義域上有且僅有一個極值點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:

(1)首先利用導(dǎo)函數(shù)求得切線的斜率為1,然后利用點斜式可得切線方程為;

(2)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后討論函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是 .

試題解析:

(1)當(dāng)

則切線的斜率

所以函數(shù)處的切線方程為

(2), ,則

,

①若,則,故,函數(shù)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)上無極值點,故不符題意,舍去;

②若, ,該二次函數(shù)開口向下,對稱軸, ,

所以上有且僅有一根,故,

且當(dāng), ,函數(shù)上單調(diào)遞增

當(dāng), , ,函數(shù)上單調(diào)遞減;

所以,函數(shù)在定義域上有且僅有一個極值點,符合題意;

③若 ,該二次函數(shù)開口向上,對稱軸

)若,, ,,函數(shù)上單調(diào)遞增所以函數(shù)上無極值點,不符題意,舍去;

)若,,又,所以方程上有兩根, ,故,且

當(dāng), ,函數(shù)上單調(diào)遞增

當(dāng), , ,函數(shù)上單調(diào)遞減;

當(dāng) , ,函數(shù)上單調(diào)遞增;

所以函數(shù)上有兩個不同的極值點,故不符題意,舍去,

綜上所述,實數(shù)的取值范圍是

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