Question

【題目】已知函數 ，其中 .

（1）當 時，求函數 在 處的切線方程；

（2）若函數 在定義域上有且僅有一個極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)首先利用導函數求得切線的斜率為1，然后利用點斜式可得切線方程為；

(2)求解函數的導數，然后討論函數的性質可得實數的取值范圍是 .

試題解析：

（1）當則

又則切線的斜率，

所以函數在處的切線方程為．

（2）， ，則，

令，

①若，則，故，函數在上單調遞增，所以函數在上無極值點，故不符題意，舍去；

②若， ，該二次函數開口向下，對稱軸， ，

所以在上有且僅有一根，故，

且當時， ， ，函數在上單調遞增；

當時， ， ，函數在上單調遞減；

所以時，函數在定義域上有且僅有一個極值點，符合題意；

③若， ，該二次函數開口向上，對稱軸．

（ⅰ）若，即， ，故，函數在上單調遞增，所以函數在上無極值點，故不符題意，舍去；

（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有兩根， ，故，且

當時， ， ，函數在上單調遞增；

當時， ， ，函數在上單調遞減；

當時， ， ，函數在上單調遞增；

所以函數在上有兩個不同的極值點，故不符題意，舍去，

綜上所述，實數的取值范圍是．