Question

3．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且關(guān)于x的方程2a²+2x²+b²=2bx+2$\sqrt{2}$ax只有一個(gè)零點(diǎn)，${（\sqrt{2}b+a）cosC+ccosA=0$，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinA•sinB，則邊c=1．

Answer 1

分析 由關(guān)于x的方程的判別式等于零求得b=$\sqrt{2}$a；根據(jù) ${（\sqrt{2}b+a）cosC+ccosA=0$，求得cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C=$\frac{3π}{4}$；由正弦定理求得a=$\sqrt{2}$csinA，b=$\sqrt{2}$csinB，代入S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinA•sinB，求得邊c的值．

解答 解：△ABC中，關(guān)于x的方程 2a²+2x²+b²=2bx+2$\sqrt{2}$ax，即2x²-2bx-2$\sqrt{2}$ax+2a²+b²=0，
根據(jù)此方程有唯一解，可得△=${（2\sqrt{2}a+2b）}^{2}$-8（2a²+b²）=0，∴b=$\sqrt{2}$a．
又 ${（\sqrt{2}b+a）cosC+ccosA=0$，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，
故 2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即 2acosC+$\sqrt{2}$a=0，
∴cosC=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C=$\frac{3π}{4}$．
由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC=5a²，∴c=$\sqrt{5}$a．
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，∴a=$\sqrt{2}$csinA，b=$\sqrt{2}$csinB，
∴S_△ABC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$sinA•sinB=$\frac{1}{2}ab$•sinC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$csinA•$\sqrt{2}$csinB，
∴c²=1，∴c=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．