Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n為奇數(shù)}\\{-{a}_{n}-n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b_n=a_2n，其中n∈N^*．
（Ⅰ）試求a₂，a₃的值并證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=b_n+a_2n+1求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n為奇數(shù)}\\{-{a}_{n}-n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，分別取n=1，n=2，可得a₂，a₃．利用遞推式可得b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+4n，又a_2n+1=-a_2n-2n，可得b_n+1=-2b_n，利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（II）由（I）可得：a_2n+1=-a_2n-2n，b_n=a_2n，可得c_n=a_2n+（-a_2n-2n）=-2n．于是$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （I）證明：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n為奇數(shù)}\\{-{a}_{n}-n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴a₂=2a₁+2-2=1，a₃=-a₂-2=-3．
b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+2（2n+1）-2=2a_2n+1+4n，
又a_2n+1=-a_2n-2n，
∴b_n+1=2（-a_2n-2n）+4n=-2a_2n=-2b_n，
b₁=a₂=1，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為-2；
（II）解：由（I）可得：a_2n+1=-a_2n-2n，b_n=a_2n，
c_n=b_n+a_2n+1=a_2n+（-a_2n-2n）=-2n．c_n+1=-2（n+1）．
∴$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{-2n•[-2（n+1）]}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．