Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做銳角α和鈍角β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點，已知A、B的縱坐標(biāo)分別為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（1）求tan（2α-β）的值； 
（2）求β-α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，cosβ，tanα，tanβ，進(jìn)而利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α，根據(jù)兩角差的正切函數(shù)公式即可計算tan（2α-β）的值．
（2）由（1）利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos（β-α）的值，結(jié)合范圍β-α∈（0，π），即可得解β-α的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）根據(jù)題意得sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，…（1分）
∴$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$cosβ=\frac{{-3\sqrt{10}}}{10}$，…（2分）
∴$tanα=\frac{1}{2}$，$tanβ=-\frac{1}{3}$，…（3分）
$tan2α=\frac{4}{3}$，…（4分）
∴tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=3．…（6分）
（2）cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα…（7分）
=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）
∵由題意β-α∈（0，π），
∴β-α=$\frac{3π}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正切函數(shù)公式，兩角差的正切函數(shù)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．