Question

已知f（x）=log_ax-x+1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=e，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）f（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，等價(jià)于lna＜

lnx

x-1

在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)F（x）=

lnx

x-1

的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）a=e時(shí)，f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，f′(x)=

1

x

-1

令f′(x)＞0，知0＜x＜1，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，1)； 同理f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，+∞)，

（2）∵f(x)=logax-x+1=

lnx

lna

-x+1，
∴f(x)＞0在(1，2)上恒成立?

lnx

lna

＞x-1在(1，2)上恒成立
而x∈（1，2）時(shí)，lnx＞0，x-1＞0∴0＜a＜1不合題意∴a＞1
∴

lnx

lna

＞x-1在(1，2)上恒成立?lna＜

lnx

x-1

在(1，2)上恒成立令F(x)=

lnx

x-1

，則F′(x)=

1 x (x-1)-lnx

(x-1)2

=

1- 1 x +ln 1 x

(x-1)2

由（1）知，當(dāng)x＞0，f（x）=lnx-x+1＜f（1）=0，
∴x∈(1，2)即

1

x

∈(

1

2

，1)時(shí)，ln

1

x

-

1

x

+1＜0恒成立，
∴F'（x）＜0恒成立∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，
即F（x）＞F（2）=ln2，∴l(xiāng)na≤ln2，∴a≤2，
綜上得a∈（1，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．