Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的公差d及通項(xiàng)a_n；
（2）求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出d=1，由此能求出a_n=n．
（2）由（1）知2am=2ⁿ，由此能求出數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）由題設(shè)知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
得：

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（3分）
解得d=1，d=0（舍去）…（4分）
故{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+（n-1）×1=n．…（6分）
（2）由（1）知2am=2ⁿ，…（8分）
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得
S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

…（11分）
=2ⁿ⁺¹-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．