Question

13．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=5，A、B是圓C上的兩個動點，AB=2，則$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍為[8-4$\sqrt{5}$，8+4$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的半徑和余弦定理求出cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，根據(jù)勾股定理求出CD，∠COD=θ，0≤θ≤π，利用向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積的運算，得到$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}$+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）+$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，代值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質計算即可．

解答 解：∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=5，
∴CA=CB=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得cos∠ACB=$\frac{C{A}^{2}+C{B}^{2}-A{B}^{2}}{2×CA•CB}$=$\frac{5+5-4}{2×5}$=$\frac{3}{5}$，
設D為AB的中點，
∴CD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
設∠COD=θ，0≤θ≤π，
∴-1≤cosθ≤1，
∵$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{CD}$
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$）=${\overrightarrow{OC}}^{2}$+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）+$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=5+2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CD}$+$\sqrt{5}×\sqrt{5}$×$\frac{3}{5}$=8+2×$\sqrt{5}$×2•cosθ=8+4$\sqrt{5}$cosθ，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍為[8-4$\sqrt{5}$，8+4$\sqrt{5}$]，
故答案為：[8-4$\sqrt{5}$，8+4$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查向量的幾何意義以及余弦定理，向量的數(shù)量積，三角形函數(shù)的性質，考查了分析問題，解決問題，運算的能力，以及數(shù)形結合和化歸思想，屬于難題．