Question

12．角A、B、C是△ABC的內(nèi)角，C=$\frac{π}{2}$，A＜B，向量$\overrightarrow{a}$=（2cosA，1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，sinA），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{7}{5}$，
（1）求sinA的值；
（2）求cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得sinA+cosA=$\frac{7}{5}$，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinA和cosA的值．
（2）由A+B=$\frac{π}{2}$，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$為$\frac{1}{2}$+$\frac{cosA+sinA}{2}$，從而求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosA，1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，sinA），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{7}{5}$，∴sinA+cosA=$\frac{7}{5}$…①，
又sin²A+cos²A=1 …②； 
由①②得：sinA=$\frac{3}{5}$，或sinA=$\frac{4}{5}$，又C=$\frac{π}{2}$，A＜B，故0＜A＜$\frac{π}{4}$，sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinA=$\frac{3}{5}$，cosA=$\frac{4}{5}$．
（2）∵A+B=$\frac{π}{2}$，∴cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\frac{1+cos（\frac{π}{2}-B）}{2}$+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{1}{2}$+$\frac{cosA+sinA}{2}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．