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【題目】已知 ≤a≤1,若函數f(x)=ax2﹣2x+1在區(qū)間[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)﹣N(a).
(1)求g(a)的函數表達式;
(2)判斷函數g(a)在區(qū)間[ ,1]上的單調性,并求出g(a)的最小值.

【答案】
(1)解:f(x)=ax2﹣2x+1的對稱軸為x= ,

≤a≤1,∴1≤ ≤3,

∴f(x)在[1,3]上的最小值f(x)min=N(a)=f( )=1﹣

∵f(x)=ax2﹣2x+1在區(qū)間[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),

∴①當1≤ ≤2,即 ≤a≤1時,

M(a)=f(3)=9a﹣5,N(a)=f( )=1﹣

g(a)=M(a)﹣N(a)=9a+ ﹣6.

②當2< ≤3時.即 ≤a< 時,

M(a)=f(1)=a﹣1,N(a)=f( )=1﹣

g(a)=M(a)﹣N(a)=a+ ﹣2.

∴g(a)=


(2)解:由(1)可知當 ≤a≤1時,g(a)=M(a)﹣N(a)=9a+ ﹣6≥0,當且僅當a= 時取等號,所以它在[ ,1]上單調遞增;

≤a< 時,g(a)=M(a)﹣N(a)=a+ ﹣2≥0,當且僅當a=1時取等號,所以g(a)在[ ]單調遞減.

∴g(a)的最小值為g( )=9×


【解析】(1)明確f(x)=ax2﹣2x+1的對稱軸為x= ,由 ≤a≤1,知1≤ ≤3,可知f(x)在[1,3]上單調遞減,N(a)=f( )=1﹣ .由a的符號進行分類討論,能求出g(a)的解析式;(2)根據(1)的解答求g(a)的最值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識,掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較,以及對二次函數在閉區(qū)間上的最值的理解,了解當時,當時,;當時在上遞減,當時,

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