Question

某同學(xué)在寒假期間進行社會實踐活動，對[25，55]歲的人群隨機抽取行人進行了一次生活習(xí)慣是否符合環(huán)保觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合環(huán)保觀念的稱為“環(huán)保族”，否則稱為“非環(huán)保族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：

組數(shù)	分組	環(huán)保數(shù)的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）補全頻率分布直方圖，并求n、a、p的值；
（Ⅱ）從[35，45）歲年齡段的“環(huán)保族”中采用分層抽樣法抽取16人參加戶外環(huán)保體驗活動，其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[35，40）歲的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知條件求出第二組的頻率，從而補全頻率分布直方圖，由此能求出n、a、p的值．
（Ⅱ）[35，40）歲年齡段的“環(huán)保族”人數(shù)與[40，45）年齡段的“環(huán)保族”人數(shù)的比值為100：60=5：3，由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（Ⅰ）第二組的頻率為：
1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴高為

0.3

5

=0.06，
頻率分布直方圖如右圖．
第一組的人數(shù)為

120

0.6

=200，頻率為0.04×5=0.2，
∴n=

200

0.2

=1000．
由題意知第二組的頻率為0.3，
∴第二組的人數(shù)為1000×0.3=300，
∴p=

195

300

=0.65，
第四組的頻率為0.03×5=0.15，
∴第四組的人數(shù)為1000×0.15=150，
∴a=150×0.4=60．
（Ⅱ）∵[35，40）歲年齡段的“環(huán)保族”人數(shù)
與[40，45）年齡段的“環(huán)保族”人數(shù)的比值為100：60=5：3，
∴采用分層抽樣抽取16人，
其中[35，40）歲中有10人，{40，45）歲中有6人，
由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 0 10 C 3 6

C 3 16

=

1

28

，
P（X=1）=

C 1 10 C 2 6

C 3 16

=

15

56

，
P（X=2）=

C 2 10 C 1 6

C 3 16

=

27

56

，
P（X=3）=

C 3 10 C 0 6

C 3 16

=

12

56

=

3

14

，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 28	15 56	27 56	3 14

∴EX=0×

1

28

+1×

15

56

+2×

27

56

+3×

3

14

=

15

8

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．