Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a（其中a為常數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值時x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）直接由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最大值為4列式求得a值；
（3）由相位的終邊落在y軸正半軸上求得使f（x）取最大值時x的取值集合．

解答 解：（1）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{4π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]（k∈Z），減區(qū)間為[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{4π}{3}+kπ$]（k∈Z）；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，f（x）的最大值為2+a=4，即a=2；
（3）當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，即x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$時，f（x）取最大值，
∴使f（x）取最大值時x的取值集合為{x|x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$}．

點評 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了與正弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)最值的求法，是基礎(chǔ)題．