Question

6．定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下列兩個條件：（1）對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；�。�2）當x∈（1，2]時，f（x）=（2-x）²；記函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1），若函數(shù)g（x）恰有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2]
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2）

Answer 1

分析 根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：當x∈（1，2]時，f（x）=（2-x）²；f（x）=2（2-$\frac{x}{2}$）²，x∈（2，4]，f（x）=4（2-$\frac{x}{4}$）²，x∈（4，8]，…，又y=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可．

解答 解：因為對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，
且當x∈（1，2]時，f（x）=（2-x）²；
f（x）=2（2-$\frac{x}{2}$）²，x∈（2，4]，
f（x）=4（2-$\frac{x}{4}$）²，x∈（4，8]，
…
由題意得y=k（x-1）的函數(shù)圖象
是過定點P（1，0）的直線，
其中A（2，2），B（4，4），
如圖所示直線與線段AB相交即可
（可以與B點重合但不能與A點重合），
k_PA=$\frac{2-0}{2-1}$=2，k_PB=$\frac{4-0}{4-1}$=$\frac{4}{3}$，
所以可得k的范圍為$\frac{4}{3}$≤x＜2．
故選：D．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的一個重要數(shù)學數(shù)學，是解決數(shù)學問題的必備的解題工具．