Question

11．AC′是正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線，選取正方體的某三條棱的中點M，N，P組成三角形，使△MNP所在的平面垂直于AC′．滿足上述條件的不同的△MNP一共有3個．

Answer 1

分析 作出圖形，利用線面垂直的判定定理進行判斷．

解答 解：由題意，連結(jié)DB，AC，

∵M，N分別為中點，
∴MN∥BD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵AA′⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA′⊥BD，
∵AA′∩AC=A，
∴BD⊥平面AC′，
∴BD⊥AC′，
∵MN∥BD，
∴AC′⊥MN，
同理可證AC′⊥MF，AC′⊥NF，
∵MF∩NF=F，MF?平面MNF，NF?平面MNF，
∴AC′⊥平面MNF，故①正確．
④中由①中證明可知AC′⊥MP，
∵MN∥BD，BD⊥AC′，
∴AC′⊥MN，
∴AC′⊥平面MNP，
同理可證明⑤中AC′⊥平面MNP，
∴滿足上述條件的不同的△MNP一共有3個．
故答案為：3．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定定理．考查了學生空間思維能力和觀察能力．