Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線與直線x+3y+2=0垂直．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值是15．

Answer 1

分析 求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，建立方程，即可求出a的值，從而可求f（x）解析式，模擬運行程序，可得程序框圖的功能是求S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+..+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}）$=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$＞$\frac{14}{15}$時k的值，
從而得解．

解答 解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
∴根據(jù)導數(shù)的幾何意義，y=f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
∵函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y=0垂直，
∴（2-a）×（-$\frac{1}{3}$）=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x²+x，
∴$\frac{1}{f（x）}=\frac{1}{{x}^{2}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$
從而模擬程序運行，可得程序框圖的功能是求S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+..+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}）$=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$＞$\frac{14}{15}$時k的值，
可解得：k＞14，
故答案為：15．

點評 本題考查利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程，具體涉及到導數(shù)的幾何意義，直線垂直的性質(zhì)等知識點，還考查了程序框圖和算法，考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于基本知識的考查．