Question

14．已知tanα，tanβ是關(guān)于x的方程x²-4px-3=0（p∈R）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），求cos²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 由韋達(dá)定理和兩角和的正切公式可得tan（α+β），弦化切可得原式=$\frac{1+ptan（α+β）}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$，代值計(jì)算可得．

解答 解：∵tanα，tanβ是關(guān)于x的方程x²-4px-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴由韋達(dá)定理可得tanα+tanβ=4p，tanαtanβ=-3，
∴由兩角和的正切公式可得tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=p，
∴cos²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）
=$\frac{co{s}^{2}（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）}{co{s}^{2}（α+β）+si{n}^{2}（α+β）}$
=$\frac{1+ptan（α+β）}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{1+{p}^{2}}{1+{p}^{2}}$=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)求值，涉及韋達(dá)定理和弦化切的整體思想，屬中檔題．