Question

19．下列五種說(shuō)法：
①函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$（x＞1）的最小值為5；
②y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）周期為π．
③已知△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，a=4$\sqrt{3}$，b=4$\sqrt{2}$，則∠A=$\frac{π}{3}$．
④若cos2α=0，則cosα=sinα．
⑤y=$\frac{{{{（sinx）}^2}+2}}{sinx}$，x∈（0，π），則y的最小值為2$\sqrt{2}$．
其中正確的命題是①．

Answer 1

分析 ①利用基本不等式進(jìn)行求解判斷，
②根據(jù)正切函數(shù)的周期公式進(jìn)行判斷，
③根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解判斷，
④根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，
⑤利用基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷．

解答 解：①函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+4}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+（x-1）+4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1，
∵x＞1，∴x-1＞0，
則（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1≥1+2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$=1+4=5當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{4}{x-1}$，即x-1=2，x=3時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最小值為5正確，故①正確；
②y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）周期為T(mén)=$\frac{π}{2}$，故②錯(cuò)誤，
③已知△ABC中，∠B=$\frac{π}{4}$，a=4$\sqrt{3}$，b=4$\sqrt{2}$，則$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得sinA=$\frac{asinB}$=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則∠A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，故③錯(cuò)誤．
④若cos2α=0，則2α=2kπ±$\frac{π}{2}$，即a=kπ±$\frac{π}{4}$，則tanα=±1，即cosα=±sinα，故④錯(cuò)誤，
⑤y=$\frac{{{{（sinx）}^2}+2}}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{2}{sinx}}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=$\frac{2}{sinx}$，即sinx=$\sqrt{2}$，此時(shí)sinx=$\sqrt{2}$不成立，則y的最小值為2$\sqrt{2}$錯(cuò)誤，故⑤錯(cuò)誤，
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．