Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=5，a₄+a₈=22，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
（1）求a_n及S_n
（2）證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和得答案；
（2）裂項(xiàng)求和和放縮法證明即可．

解答 解：（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，
∴a₆-a₃=3d=11-5=6，∴d=2，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1． S_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}$=n²，
（2）∵S_n=n²，
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
故對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．