已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍是

[  ]

A.(1,2]

B.(1,2)

C.[2,+∞)

D.(2,+∞)

答案:C
解析:

  解法一:如圖l1l2分別為與雙曲線=1的漸近線平行的兩條直線,直線l為過(guò)F且傾斜角為60°的直線,要使l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則應(yīng)使≥tan60°=

  ∴e=≥2,選C.

  解法二:由已知設(shè)直線方程為y=(x-c)與雙曲線=1聯(lián)立消去y整理得(b2-3a2)x2+6a2cx-3a2c2-a2b2=0因?yàn)橹本與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則應(yīng)有x1·x2<0即x1·x2

  ∴,而a2+b2=c2

  ∴,∴,

  解得

  ∴e==2,

  經(jīng)驗(yàn)證,此時(shí)Δ>0.

  特別地,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),也適合題意,

  此時(shí),∴e==2.

  綜上,雙曲線的離心率的取值范圍是[2,+∞).選C.


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[  ]
A.

2

B.

C.

D.

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[  ]
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(1,2)

B.

(1,2]

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[2,+∞)

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A.[1,2]             B.(1,2)             C.[2,+∞)         D.(2,+∞)

 

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