Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+1，a∈R．p：?x∈[0，2]，f（x）＜a；q：?x∈[0，2]，f（x）+a＜0．
（1）若p為真命題，求a的取值范圍；
（2）若q為真命題，求a的取值范圍；
（3）若“p且q”為假命題，“非p”為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p為真命題，利用參數(shù)分離法求出f（x）_min即可求a的取值范圍；
（2）若q為真命題，利用參數(shù)分離法求出-f（x）_min即可求a的取值范圍；
（3）若“p且q”為假命題，“非p”為假命題，則p為真命題，q為假命題，建立不等式關(guān)系即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）若p為真命題，由題意，f（x）_min＜a．         …（2分）
∵f（x）=x²-2x+1=（x-1）²的圖象為開口向上，對稱軸為x=1的拋物線，
∴當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）∈[0，1]，…（4分）
∴f（x）_min=0．∴a＞0．                             …（6分）
（2）若q為真命題，：?x∈[0，2]，a＜-f（x），
∴a＜[-f（x）]_min，…（8分）
∵-f（x）_min=-1，∴a＜-1．                       …（10分）
（3）若“p且q”為假命題，“非p”為假命題，
∴p為真命題，q為假命題．…（12分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，∴a＞0．                            …（14分）

點評 本題主要考查命題的真假的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．