Question

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

（x∈R），求：
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=5sin（2x-

π

3

），由此可得它的周期．
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

=

5

2

sin2x-5

3

•

1+cos2x

2

+

5

2

3

=5sin（2x-

π

3

），
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
（2）∵當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴5sin（2x-

π

3

）∈[-

5 3

2

，5]，即函數(shù)的值域?yàn)閇-

5 3

2

，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．