已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（2）=3，解不等式f（a2+a-5）＜2．
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的關(guān)系即可證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（2）=3，將不等式f（a2+a-5）＜2轉(zhuǎn)換為f（a2+a-5）＜f（1），利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴f（m+n）-f（m）=f（n）-1，
設(shè)x1＜x2，則x2-x1＞0，
則f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）＞1
∴f（x2-x1）＞1，即f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1＞0，
則f（x2）＞f（x1），
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）f（2）=3，則f（2）=f（1）+f（1）-1=3，
即2f（1）=4，則f（1）=2，
則不等式f（a2+a-5）＜2等價為f（a2+a-5）＜f（1）．
∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴a2+a-5＜1，即a2+a-6＜0．
解得-3＜a＜2．
故不等式的解集為（-3，2）．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x∈R，x2-x+
1
4
≤0，命題q：?x∈R，sinx+cosx=
2
，則下列判斷正確的是（　�。�
A、p是真命題
B、q是假命題
C、￢p是假命題
D、￢q是假命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=log2（x-2），若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）+f（2n）=3，則m+n的最小值是（　�。�
A、7B、5C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為點(diǎn)B，且AB=AC=A1B=2．
（1）求證：A1C1⊥平面AA1B1B；
（2）若P為線段B1C1的中點(diǎn)，求四棱錐P-AA1B1B的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3-ax．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（l，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）若對任意x∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m=2時，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n≥2，n∈N*時，log2e+log3e+log4e+…+logne＞
3n2-n-2
2n(n+1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，且對于任意的x，y∈（0，+∞），恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（Ⅰ）求f（1）；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）當(dāng)f（2）=1時，
①解不等式f（x）+f（x-3）≤2；
②求函數(shù)f（x）在[
2
，4]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求與曲線y=
3x2
在點(diǎn)P（8，4）處的切線垂直的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5
3
cos2x+
5
2
3
（x∈R），求：
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，函數(shù)f（x）的值域．

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