Question

【題目】已知函數(shù)，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，…）.

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）若，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為-1，最小值為（2）（3）

【解析】

（1）當時，利用函數(shù)導數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出極大值和極小值.（2）對求導后，令導數(shù)大于或等于零，對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得取值范圍.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，令這個最小值大于或等于零，解不等式來求得的取值范圍.

解：（1）當時，，，

當或時，，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以當時，取得極大值；當時，取得極小值.

（2），令，依題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上恒成立. 當時，顯然成立；當時，在上單調(diào)遞增，只須，即，所以.當時，在上單調(diào)遞減，只須，即，所以.

綜上， 的取值范圍為.

（3），即，令=， 因為，所以只須，令，，，因為，所以，所以，即單調(diào)遞增，

又，即單調(diào)遞增，所以，所以，又，

所以.