Question

5．若實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，求下列式子的取值范圍．
（1）$\frac{y+1}{x+1}$；
（2）（x-1）²+（y-1）²；
（3）x-2y；
（4）|2x+y+1|；
（5）$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$；
（6）$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）由$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義即兩點連線的斜率求得答案；
（2）由（x-1）²+（y-1）²的幾何意義即兩點間的距離的平方求得答案；
（3）直接由線性目標函數(shù)求得x-2y的范圍；
（4）由線性目標函數(shù)求得絕對值內(nèi)部的范圍，則|2x+y+1|的范圍可求；
（5）對x分類，然后把$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$分子分母同時除以x，換元后利用函數(shù)單調(diào)性求得答案；
（6）把$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$分子分母同時除以x，換元，然后分類利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求得答案．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，

（1）$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{y-（-1）}{x-（-1）}$，由圖可知，可行域內(nèi)的點與P（-1，-1）連線斜率的最小值為${k}_{PA}=\frac{-1-0}{-1-1}=\frac{1}{2}$，最大值為${k}_{PB}=\frac{-1-1}{-1-0}=2$．
∴$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍為[$\frac{1}{2}，2$]；
（2）（x-1）²+（y-1）²的幾何意義為可行域內(nèi)的動點到點M（1，1）的距離的平方，最小值為$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，最大值為$（\sqrt{2}）^{2}=2$．
∴（x-1）²+（y-1）²的取值范圍為[$\frac{1}{2}，2$]；
（3）令z=x-2y，化為直線方程斜截式$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$，由圖可知，當直線$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$過點B（0，1）時，z有最小值為-2．
當直線$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$過點A（1，0）時，z有最大值為1．
∴x-2y的范圍為[-2，1]；
（4）令t=2x+y+1，化為直線方程斜截式y(tǒng)=-2x+t-1，由圖可知，當直線y=-2x+t-1過O（0，0）時，t有最小值為1．
當直線y=-2x+t-1過A（1，0）時，t有最大值為3．
∴|2x+y+1|的取值范圍為[1，3]；
（5）要使原求解的代數(shù)式有意義，x，y不同時為0．
當x=0時，$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=-1．當x≠0時，$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{y}{x}}{\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$（t=$\frac{y}{x}≥0$），
由單調(diào)性可得，$\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{1+{t}^{2}}}∈（-1，\sqrt{3}]$．
∴$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范圍為[-1，$\sqrt{3}$]；
（6）要使原求解的代數(shù)式有意義，x≠0且x≠y．
則$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{1+\frac{y}{x}+（\frac{y}{x}）^{2}}{1-\frac{y}{x}}=\frac{1+t+{t}^{2}}{1-t}$（t=$\frac{y}{x}≥0$且t≠1），
=$-\frac{（t-1）^{2}+3（t-1）+3}{t-1}$=$-[（t-1）+\frac{3}{t-1}]-3$．
當-1≤t-1＜0時，$-[（t-1）+\frac{3}{t-1}]-3$∈[1，+∞）．
當t-1＞0時，$-[（t-1）+\frac{3}{t-1}]-3$∈（-∞，-$2\sqrt{3}-3$]．
∴$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$的取值范圍為（-∞，-$2\sqrt{3}-3$]∪[1，+∞）．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，基本囊括了高中階段所學線性規(guī)劃的所有題型，題目設置思維靈活，運算量較大，屬難題．