Question

2．已知△ABC中，AB=AC=4，O為△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），且x+2y=1，則△ABC面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取AC中點為D，則OD⊥AC，把寫為$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，然后用兩種方法寫出，由數(shù)量積相等結(jié)合x+2y=1，需要分類討論，當(dāng)x≠0求得cos∠BAC，進一步得到其正弦值，代入三角形的面積公式求得三角形ABC的面積，當(dāng)x=0時，得到三角形為直角三角形，求出面積，問題得以解決．

解答 解：取AC的中點D，則由題意可得$\overrightarrow{DO}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，如圖所示．
由AB=AC=4，O為△ABC的外心，可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos0=2×4=8．
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=（x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$=x|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠BAC+y•${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$
=16x•cos∠BAC+16y=8，
∴2x•cos∠BAC+2y=1．
又 x+2y=1，∴2xcos∠BAC=x．
當(dāng)x≠0時，cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=4$\sqrt{3}$．
當(dāng)x=0時，則y=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，O為AC的中點，∴點A，0，C共線，
∴三角形ABC以B為直角的直角三角形，這不可能．
綜上可得△ABC面積的為4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，是屬于中檔題．