Question

10．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）$，$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，當(dāng)x=α?xí)r，f（x）有最大值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=2，A=α-$\frac{π}{12}$，且sinBsinC=sin²A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），z再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求得f（x）的增區(qū)間．
（2）由題意可得，當(dāng)2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）有最大值，求得α的值，可得A的值；在△ABC中，由于a=2，A=α-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{3}$，且sinBsinC=sin²A，由正弦定理可得bc=a²=4，從而求得△ABC的面積$\frac{1}{2}$bc•sinA 的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）$=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z，
（2）∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，再根據(jù)當(dāng)x=α?xí)r，f（x）有最大值，
可得2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，故α=$\frac{5π}{12}$．
在△ABC中，由于a=2，A=α-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{3}$，且sinBsinC=sin²A=$\frac{3}{4}$，
∴由正弦定理可得bc=a²=4，∴△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間和最值，正弦定理，屬于中檔題．