Question

4．如圖，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，點(diǎn)A，D分別是RB，RC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連結(jié)PB，PC
（Ⅰ）求證：BC⊥PB
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件AD∥BC，PA⊥AD，從而得到BC⊥PA，再由BC⊥AB，即可得到BC⊥平面PAB，從而得出BC⊥PB；
（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB即可得到PA⊥平面ABCD，從而連接AC，∠PCA便是PC與平面ABCD所成角，從而求出AC，PC的長(zhǎng)，在直角三角形PAC中即可求出cos∠PCA．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)；
∴AD∥BC，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°；
∴PA⊥AD，PA⊥BC；
又BC⊥AB，PA∩AB=A；
∴BC⊥平面PAB；
∵PB?平面PAB；
∴BC⊥PB；
（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB=A；
∴PA⊥平面ABCD；
連接AC，則∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角；
∵AB=1，BC=2，∴AC=$\sqrt{5}$；
又PA=1，PA⊥AC，∴PC=$\sqrt{6}$；
∴在Rt△PAC中，cos$∠PCA=\frac{AC}{PC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$；
∴PC與平面ABCD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，弄清折疊前后不變的量，線面垂直的判定定理及其性質(zhì)，線面角的概念及求法，直角三角形邊的關(guān)系．