Question

6．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y-x≤2}\end{array}\right.$，且目標(biāo)函數(shù)z=mx+y．
（Ⅰ）若z的最小值為0，則m=-1；
（Ⅱ）若z僅在點（1，1）處取得最小值，則m的取值范圍為（-2，1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，分類代入目標(biāo)函數(shù)求得m的值；
（Ⅱ）由題意求得直線y=-mx+z的斜率的范圍，得到m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y-x≤2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=2}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$，解得B（3，5），
C（0，2），
化目標(biāo)函數(shù)z=mx+y為y=-mx+z，
由圖可知，當(dāng)m＜0時，使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解為A（1，1）或B（3，5），
把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=-1．
把B（3，5）代入z=mx+y=0，求得m=-$\frac{5}{3}$，不合題意；
當(dāng)m＞0時，使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解為A（1，1）或C（0，2），
把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=-1，不合題意．
把B（0，2）代入z=mx+y=0，得2=0（舍）．
∴若z的最小值為0，則m=-1；
（Ⅱ）若z僅在點（1，1）處取得最小值，
則-1＜-m＜2，得-2＜m＜1．
∴若z僅在點（1，1）處取得最小值，則m的取值范圍為（-2，1）．
故答案為：（Ⅰ）-1；（Ⅱ）（-2，1）．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．