Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）．若a＞0，且f（x）的極大值為5，極小值為1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系建立方程組，求f（x）的解析式．

解答 解：f（x）=x³+ax²+b的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2ax，
由f′（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=-$\frac{2}{3}$a，
因?yàn)?nbsp;a＞0，所以x=-$\frac{2}{3}$a＜0，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得x＜-$\frac{2}{3}$a或x＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得-$\frac{2}{3}$a＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=-$\frac{2}{3}$a時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值．
即f（-$\frac{2}{3}$a）=（-$\frac{2}{3}$a）³+a（-$\frac{2}{3}$a）²+b=5，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
則有求的函數(shù)解析式是f（x）=x³+3x²+1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查求極值的方法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．