Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x}$
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)；并求f（x）在x∈[2，8]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）證法一：設0＜x₁＜x₂，作差可得f（x₁）＞f（x₂），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得：函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)；
證法二：求導，根據(jù)當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．進而可得f（x）在x∈[2，8]上的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x+2}{x}$=1+$\frac{2}{x}$，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，
函數(shù)f（x）的值域為{y|y≠1}     …4 分
證明：（2）
證法一：設0＜x₁＜x₂，
則x₁•x₂＞0，x₁-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（1+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{-2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}•{x}_{1}}$＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)     …8 分
證法二：∵f（x）=1+$\frac{2}{x}$，
∴f′（x）=$-\frac{2}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)     …8 分
故當x=2時，函數(shù)取最大值2，
當x=8時，函數(shù)取最小值$\frac{5}{4}$．
故f（x）在x∈[2，8]上的值域為[$\frac{5}{4}$，2]…12 分

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，難度中檔．