Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，前n項和為S_n，若S_n=2（a_n-1），（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（log₂a_n+1）²-（log₂a_n）²，若c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意和當n≥2時a_n=S_n-S_n-1進行化簡，得到數(shù)列的遞推公式，由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求出{a_n}的通項公式；
（2）由（1）和對數(shù)的運算化簡b_n=（log₂a_n+1）²-（log₂a_n）²，代入c_n=a_nb_n化簡后，利用錯位相減法和等比數(shù)列的前n項和公式求T_n．

解答 解：（1）∵S_n=2（a_n-1），
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1）
=2（a_n-a_n-1），則a_n=2a_n-1，
又a₁=2，則數(shù)列{a_n}是以2為首項、公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=2•{2}^{n-1}$=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=（log₂a_n+1）²-（log₂a_n）²
=（n+1）²-n²=2n+1，
∴c_n=a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）×2ⁿ，①
則2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（-2n+1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式化簡以及應用，等比數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式，以及錯位相減法和求數(shù)列的和，考查化簡、變形能力．