Question

10．己知從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且與球O相切于A，B，C點(diǎn)，若球O的體積為36π，則O，P的距離為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OP交平面ABC于O′，由題意可得：O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP．由AO′⊥PO，OA⊥PA可得$\frac{OP}{OA}=\frac{AP}{AO′}$，根據(jù)球的體積可得半徑OA=3，進(jìn)而求出答案．

解答 解：連接OP交平面ABC于O′，
由題意可得：△ABC和△PAB為正三角形，
∴O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP．
∵AO′⊥PO，OA⊥PA，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{AP}{AO′}$，
∴OP=OA•$\frac{AP}{AO′}$=$\sqrt{3}$OA．
又∵球的體積為36π，
∴半徑OA=3，則OP=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中兩點(diǎn)之間的距離，解決此類問題的方法是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，是中檔題．