Question

3．已知直線l：x+y=1與y軸交于點P，圓O的方程為x²+y²=r²（r＞0）．
（Ⅰ）如果直線l與圓O相切，那么r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；（將結(jié)果直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上）
（Ⅱ）如果直線l與圓O交于A，B兩點，且$\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{1}{2}$，求r的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如果直線l與圓O相切，圓心到直線的距離d=r；
（Ⅱ）如果直線l與圓O交于A，B兩點，且$\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{1}{2}$，分類討論，利用相交弦定理、勾股定理求r的值．

解答 解：（Ⅰ）圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（1分）
（Ⅱ）設(shè)|PA|=x，則|PB|=2x．
圓心到直線的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
①點P在圓內(nèi)，|AB|=3x，則x•2x=（r-1）（r+1），∴x²=$\frac{1}{2}$（r²-1），
∴r²=$\frac{9}{8}$（r²-1）+$\frac{1}{2}$，∴r=$\sqrt{5}$；
②點P在圓外，則x•2x=（1-r）（r+1），∴x²=$\frac{1}{2}$（1-r²），
∴r²=$\frac{9}{8}$（1-r²）+$\frac{1}{2}$，∴r=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
∴r的值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$\sqrt{5}$…（5分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查相交弦定理、勾股定理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．