Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，若在區(qū)間[

1

3

，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出x∈[

1

3

，3]時(shí)f（x）的解析式，再研究f（x）-ax=0在區(qū)間[

1

3

，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即此時(shí)y=f（x）與y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合．

解答： 解：設(shè)x∈[

1

3

，1]，則

1

x

∈[1，3]
又因?yàn)椋汉瘮?shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，
所以f（x）=2f(

1

x

)=2ln

1

x

，x∈[

1

3

，1]
所以f（x）=

2ln 1 x ，x∈[ 1 3 ，1] lnx，x∈(1，3]

，
g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有三個(gè)零點(diǎn)，即在[

1

3

，3]內(nèi)f（x）的圖象與y=ax有三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
當(dāng)直線y=ax介于直線l₁（過(guò)原點(diǎn)和（3，ln3）的直線）和直線l₂（當(dāng)x∈[1，3]時(shí)y=lnx的過(guò)原點(diǎn)的切線）
易知kl1=

ln3

3

，
設(shè)y=lnx過(guò)原點(diǎn)的切線切點(diǎn)為（a，lna），則y′=

1

x

，所以切線斜率為

1

a

，所以切線為y-lna=

1

a

(x-a)，又因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，所以lna=1，所以a=e∈[1，3]
故kl2=

1

e

，
故實(shí)數(shù)a的范圍是[

ln3

3

，

1

e

)
故答案為：[

ln3

3

，

1

e

)

點(diǎn)評(píng)：本題的解題思路充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，即把根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，做出圖象直觀的判斷，再進(jìn)行計(jì)算．本題難度較大．