Question

8．在（1+x+x²）ⁿ=D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…+D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ的展開(kāi)式中，把D${\;}_{n}^{0}$，D${\;}_{n}^{1}$，D${\;}_{n}^{2}$，…，D${\;}_{n}^{2n}$叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，寫(xiě)出三項(xiàng)式系數(shù)D${\;}_{2}^{0}$，D${\;}_{2}^{1}$，D${\;}_{2}^{2}$，D${\;}_{2}^{3}$，D${\;}_{2}^{4}$的值；
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C${\;}_{n+1}^{m}$=C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{n}^{m}$（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D${\;}_{n+1}^{m+1}$（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性質(zhì)，并予以證明；
（3）求D${\;}_{2015}^{0}$C${\;}_{2015}^{0}$-D${\;}_{2015}^{1}$C${\;}_{2015}^{1}$+D${\;}_{2015}^{2}$C${\;}_{2015}^{2}$-…+（-1）^kD${\;}_{2015}^{k}$C${\;}_{2015}^{k}$+…+D${\;}_{2015}^{2014}$C${\;}_{2015}^{2014}$-D${\;}_{2015}^{2015}$C${\;}_{2015}^{2015}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用條件求得三項(xiàng)式系數(shù)D${\;}_{2}^{0}$，D${\;}_{2}^{1}$，D${\;}_{2}^{2}$，D${\;}_{2}^{3}$，D${\;}_{2}^{4}$的值．
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C${\;}_{n+1}^{m}$=C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{n}^{m}$（1≤m≤n，m∈N，n∈N），得到三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)，再根據(jù)（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²）的左右兩邊x^m+1 的系數(shù)相等，證得${D}_{n+1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$ 成立．
（3）根據(jù)（1+x+x²）²⁰¹⁵ •（x-1）²⁰¹⁵ =（x³-1）²⁰¹⁵ 的等式兩邊的x²⁰¹⁵項(xiàng)的系數(shù)相同，從求得要求式子的值．

解答 解：（1）因?yàn)椋?+x+x²）ⁿ =x⁴+2x³+3x²+2x+1，D${\;}_{2}^{0}$=1，D${\;}_{2}^{1}$=2，D${\;}_{2}^{2}$=3，D${\;}_{2}^{3}$=2，D${\;}_{2}^{4}$=1．
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C${\;}_{n+1}^{m}$=C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{n}^{m}$（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：
${D}_{n+1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$ （1≤m≤2n-1）．
因?yàn)椋?+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²），
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（ D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…+D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ）．
上式左邊x^m+1 的系數(shù)為${D}_{n+1}^{m+1}$，而上式右邊x^m+1 的系數(shù)為${D}_{n}^{m+1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m-1}$，
可得 ${D}_{n+1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m+1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m-1}$，（1≤m≤2n-1）．
（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁵ •（x-1）²⁰¹⁵ =（D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…+D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ）
•（${C}_{2015}^{0}{•x}^{2015}$-${C}_{2015}^{1}$•x²⁰¹⁴+${C}_{2015}^{2}$•x²⁰¹³-${C}_{2015}^{3}$x²⁰¹²+…+${C}_{2015}^{2014}$•x-${C}_{2015}^{2015}$ ），
其中x²⁰¹⁵系數(shù)為 D${\;}_{2015}^{0}$C${\;}_{2015}^{0}$-D${\;}_{2015}^{1}$C${\;}_{2015}^{1}$+D${\;}_{2015}^{2}$C${\;}_{2015}^{2}$-…+（-1）^kD${\;}_{2015}^{k}$C${\;}_{2015}^{k}$+…+D${\;}_{2015}^{2014}$C${\;}_{2015}^{2014}$-D${\;}_{2015}^{2015}$C${\;}_{2015}^{2015}$，
∵（1+x+x²）²⁰¹⁵ •（x-1）²⁰¹⁵ =（x³-1）²⁰¹⁵，
 而二項(xiàng)式的（x³-1）²⁰¹⁵ 的通項(xiàng)公式 T_r+1=${C}_{2015}^{r}{•{（x}^{3}）}^{2015-r}$，
因?yàn)?015不是3的倍數(shù)，所以（x³-1）²⁰¹⁵ 的展開(kāi)式中沒(méi)有x²⁰¹⁵項(xiàng)，由代數(shù)式恒成立，
可得D${\;}_{2015}^{0}$C${\;}_{2015}^{0}$-D${\;}_{2015}^{1}$C${\;}_{2015}^{1}$+D${\;}_{2015}^{2}$C${\;}_{2015}^{2}$-…+（-1）^kD${\;}_{2015}^{k}$C${\;}_{2015}^{k}$+…+D${\;}_{2015}^{2014}$C${\;}_{2015}^{2014}$-D${\;}_{2015}^{2015}$C${\;}_{2015}^{2015}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．