Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n，n∈N^*．
（1）設(shè)a_n=（

1

3

）ⁿ，b_n=1-3n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)c_n=2n+4，{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，若b₁=1，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=3n-25，a_n=n²-8n，求正整數(shù)k，使得對(duì)一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）c_n=-3[（

1

3

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ]=

2

3n

，由此能示出S_n．
（2）2n+4=2（b_n+1-b_n），b_n+1-b_n=n+2，由此推導(dǎo)出{b_n-

1

2

（n-1）n-2n}是首項(xiàng)為b₁-2=-1的常數(shù)數(shù)列，從而能求出b_n=

(n-1)n

2

+2n-1．
（3）n-25=[（n+1）²-n²-8]（b_n+1-b_n）=（2n-7-n²）（b_n+1-b_n），由此求出1≤n＜

25

3

時(shí)，{b_n}單調(diào)遞增，從而能求出b_n≤b₉，k=9．

解答： 解：（1）∵c_n=（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n），a_n=（

1

3

）ⁿ，b_n=1-3n，
c_n=-3[（

1

3

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ]
=-3（

1

3

）ⁿ⁺¹（1-3）=

2

3n

，
∴S_n=

2

3

（1+

1

3

+…+

1

3n-1

）
=

2

3

×

1- 1 3n

1- 1 3

=1-

1

3n

．
（2）由題意知：2n+4=2（b_n+1-b_n），
b_n+1-b_n=n+2，
b_n+1=b_n+n+2=b_n+

1

2

[n（n+1）-（n-1）n]+2（n+1-n），
b_n+1-

1

2

n（n+1）-2（n+1）=b_n-

1

2

（n-1）n-2n，
∴{b_n-

1

2

（n-1）n-2n}是首項(xiàng)為b₁-2=-1的常數(shù)數(shù)列，
b_n-

1

2

（n-1）n-2n=-1，
b_n=

(n-1)n

2

+2n-1．
（3）由題意得3n-25=[（n+1）²-n²-8]（b_n+1-b_n）
=（2n-7-n²）（b_n+1-b_n），
n²-2n+7=（n-1）²+6≥6＞0．
b_n+1-b_n=

3n-25

2n-7-n2

=

3( 25 3 -n)

(n-1)2+6

，
1≤n＜

25

3

時(shí)，b_n+1-b_n＞0，b_n+1＞b_n，{b_n}單調(diào)遞增；
1≤n≤9時(shí)，b_n≤b₉．
n＞

25

3

時(shí)，b_n+1-b_n＜0，b_n+1＜b_n，{b_n}單調(diào)遞減．n≥9時(shí)，b_n≤b₉．
綜合，有b_n≤b₉，k=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要注意數(shù)列的單調(diào)性的合理運(yùn)用．