Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₃=6，S₅=$\frac{25}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）通過S₃=6，S₅=$\frac{25}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，利用錯位相減法計(jì)算T_n-$\frac{1}{2}$T_n，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$，
∵S₃=6，S₅=$\frac{25}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{5{a}_{1}+10d=\frac{25}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{3}{2}}\\{d=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=$\frac{1}{2}$n+1；
（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，
由（Ⅰ）知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
則：T_n=3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+4•$\frac{1}{{2}^{3}}$+5•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+4•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{4}$+（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．