【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)=xlnx,

∴f'(x)=lnx+1,

當(dāng) 單調(diào)遞減,

當(dāng) 單調(diào)遞增,

,沒有最小值;

,即 時(shí), ;

,即 時(shí),f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt

所以


(2)解:2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,則 ,

設(shè)

,

①x∈(0,1),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

②x∈(1,+∞),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

所以h(x)min=h(1)=4,

對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,

∵g(x)=﹣x2+ax﹣3.所以a≤h(x)min=4;


【解析】(1)f'(x)=lnx+1,當(dāng) 單調(diào)遞減,當(dāng) 單調(diào)遞增,由此進(jìn)行分類討論,能求出函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)由2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,知 ,設(shè) ,則 ,由此入手能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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C.(﹣∞,e)
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