Question

已知函數(shù)f（x）=log_n+1x（n＞0），且 g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)n的值；
（2）求g（x）圖象與直線y=-2，x=1圍成的封閉圖形的面積S；
（3）對(duì)于任意a，b，c∈[M，+∞），且a≥b≥c．當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)時(shí)，f（a），f（b），f（c）也總能作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，試求M的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：分析法和綜合法,函數(shù)圖象的作法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得g（x）=x+log_n+1（

x+2

n-x

）為奇函數(shù)，由f（0）=0，解得n的值．
（2）由（1）可得g（x）是增函數(shù)，定義域?yàn)閇-1，1]，g（x）圖象與直線y=-2，x=1圍成的封閉圖形為矩形ACBD．再根據(jù)g（x）的圖象平分矩形ACBD的面積．可得所求的面積為S．
（3）由題意可得b+c＞a，f（b）+f（c）＞f（a），可得 bc＞a．由于log₃c＞0，得c＞1，經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)0＜M≤1不滿足題意．再根據(jù)當(dāng)1＜M＜2時(shí)，經(jīng)過檢驗(yàn)也不滿足題意，可得M的最小值為2．

解答： 解：（1）由題意可得g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）
=x+log_n+1（x+2）-log_n+1x（n-x）
=x+log_n+1（

x+2

n-x

）為奇函數(shù)，
故有f（0）=0+log_n+1（

0+2

n-0

）=0，解得n=2．
（2）由（1）可得g（x）=x+log_n+1（x+2）-log_n+1x（n-x）
是增函數(shù)，定義域?yàn)閇-1，1]，
g（x）圖象與直線y=-2，x=1圍成的封閉圖形為矩形ACBD，
A（-1，-2），B（1，2）．
再根據(jù)曲線的對(duì)稱性可得，函數(shù)g（x）的圖象平分矩形ACBD的面積．
故所求的面積為S=

1

2

[（1-（-1）]×4=4．
（3）由題意可得b+c＞a，由于f（a），f（b），f（c）能作為某個(gè)三角形的三邊，
故有f（b）+f（c）＞f（a），即log₃b+log₃c＞log₃a，即 bc＞a．
由于log₃c＞0，∴c＞1，故0＜M≤1不滿足題意．
再根據(jù)當(dāng)1＜M＜2時(shí)，取b=c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，滿足條件；
但此時(shí) log₃M+log₃M=2log₃M=log3M2，即f（b）+f（c）=f（a），
f（a），f（b），f（c）不能作為某個(gè)三角形的三邊．
綜上可得，M的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．